Тема: Алгебра логики. Высказывания. Логические операции.

Класс: 11

Цели:

Познакомить с понятиями логическое высказывание (простое и составное), высказывательная форма, логические операции (инверсия, конъюнкция, дизъюнкция), с порядком действия логических операций.

Развивать умение определять истинность высказывания, разбивать составные высказывания на простые, использовать логические операции.

Развивать внимательность, логическое мышление.

Оборудование:

компьютер, проектор, презентация;

План урока:

Организационный момент.

Объяснение нового материала.

Итог урока.

Дополнительный материал.

Тип урока: объяснение нового материала.

Ход урока:

Деятельность учителя	Деятельность учащихся
Организационный момент Объяснение нового материала Сегодня мы начинаем изучение нового раздела информатики – «Основы логики». Тема сегодняшнего урока – «Алгебра логики. Высказывания. Логические операции». Основоположником математической логики является великий немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц. На заложенном Лейбницем фундаменте ирландский математик Джордж Буль построил здание новой науки – математической логики, - которая в отличие от обычной алгебры оперирует не числами, а высказываниями. В честь Дж. Буля алгебра логики ещё называется булевой алгеброй. Слайд 1: Алгебра логики – это математический аппарат, с помощью которого записывают, вычисляют, упрощают и преобразовывают логические высказывания. А что же такое высказывание? Слайд 2: Логическое высказывание – это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно сказать истинно оно или ложно. Например: «Шесть – чётное число» - это высказывание, т.к. про это предложение можно сказать, что оно истинно. «Париж – столица Японии» - это высказывание, т.к. про это предложение можно сказать, что оно ложно. Приведите свои примеры высказываний. Высказывания не могут быть выражены повелительными и вопросительными предложениями. «Ученик 11 класса» - по этому предложению нельзя судить об его истинности из-за недостатка информации (не понятно о ком идёт речь). Поэтому предложение не является высказыванием. Такие предложения называются высказывательной формой. Слайд 3: Высказывательная форма – это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями. Придумайте свой пример высказывательной формы. В алгебре логики высказываниям ставятся в соответствие логические переменные, которые принято обозначать буквами латинского алфавита. Например: A = «6 кратно 3» B = «6 кратно 5» Высказывание A – истинно, B – ложно. Истинному высказыванию соответствует значение логической переменной 1, ложному – 0 (вспомните двоичную систему счисления), т.е. в нашем случае: A = 1 B = 0 До сих пор мы рассматривали простые (элементарные) высказывания. Но бывают и сложные (составные) высказывания. Сложное высказывание образовано из других с помощью логических связок. Логические связки – это различные слова и словосочетания, например, «и», «или», «не». Если истинность простых высказываний мы можем установить, руководствуясь здравым смыслом, то истинность сложных высказываний устанавливается при помощи базовых логических операций. Слайд 4: Инверсия (логическое отрицание) – операция, выражаемая связкой «не». на естественном языке не A в алгебре логики в программировании NOT A В алгебре логики инверсию принято обозначать чертой над переменной, в языках программирования – при помощи слова NOT. Слайд 4: … Инверсия делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное – истинным. Например, A = «Луна – спутник Земли» - истинное высказывание. Поставив частицу «не», получим = «Луна – не спутник Земли» - ложное высказывание. Значение логической операции можно определить с помощью таблицы истинности данной функции, которая показывает, какие значения принимает эта операция при всех возможных наборах её аргументов. Построим таблицу истинности для операции логического отрицания: A 1 0 0 1 Слайд 5: Конъюнкция (логическое умножение) – операция объединения двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза «и». на естественном языке A и B в алгебре логики A & B в программировании A AND B В алгебре логики конъюнкцию принято обозначать значком «^» или «&» (мы будем чаще пользоваться первым), в языках программирования – при помощи слова AND. Слайд 5: … Конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда истинны все входящие в неё простые высказывания. Составим таблицу истинности для операции логического умножения: A B A ^ B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Например, С = «Число 6 кратно 3 и 2» – истинное составное высказывание, так как входящие в него простые высказывания A = «Число 6 кратно 3» B = «Число 6 кратно 2» оба истинны. По таблице истинности легко определить истинность логического высказывания. Рассмотрим, например, составное высказывание F = «2*2=4 и 3*3=10». Входящее в него первое простое высказывание A = «2*2=4» - истинно (т.е. A =1), а второе простое высказывание B = «3*3=10» - ложно (т.е. B = 0). По таблице определяем, что всё составное высказывание F ложно (т.е. F = 0). Слайд 6: Дизъюнкция (логическое сложение) – операция объединения двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза «или». на естественном языке A или B в алгебре логики в программировании A OR B В алгебре логики дизъюнкцию принято обозначать значком «v», в языках программирования – при помощи слова OR. Слайд 6: … Дизъюнкция ложна тогда и только тогда, когда ложны все входящие в неё простые высказывания. Рассмотрим составное высказывание «Мама будет довольна, когда ты помоешь пол или посуду» Будет ли мама довольна, когда ты вымоешь пол? А когда вымоешь посуду? А когда вымоешь и пол, и посуду? И у мамы не будет причин для того, чтобы быть довольной, если и пол, и посуда останутся невымытыми, т.е. оба простых высказывания, входящих в наше составное, окажутся ложными. Составим таблицу истинности для операции логического сложения: A B A v B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Давайте определим по таблице истинность высказывания F = «Число 6 кратно 3-м или 5-и». Разобьём это составное высказывания на два простых: A = «Число 6 кратно 3-м» B = «Число 6 кратно 5-и» Высказывание A – истинно (т.е. A = 1), а высказывание B ложно (т.е. B = 0), следовательно, высказывание F – истинно. На практике мы часто сталкиваемся со сложными высказываниями, в которых содержатся несколько логических операций. Такие высказывания удобно записывать в виде логического выражения. Слайд 7: Логическое выражение – это формула, в которую входят логические переменные, обозначающие высказывания, и знаки логических операций, обозначающие логические функции. Для записи составного высказывания в виде логического выражения, в нём нужно выделить простые высказывания и логические связи между ними. Запишем в форме логического выражения высказывание «(2*2=5 или 2*2=4) и (2*25 или 2*24)». Проанализировав это высказывание, мы приходим к выводу, что оно состоит из двух простых: A = «2*2=5» - ложно (0) B = «2*2=4» - истинно (1) Тогда составное высказывание можно записать в виде: F = (A v B) ^ ( v ) Подставив значения логических переменных и воспользовавшись таблицами истинности, получим значение логической функции: F = (0 v 1) ^ (1 v 0) = 1 v 1 =1 В данном случае порядок действий мы определяли с помощью скобок, но логические выражения могут быть и без скобок. Как быть тогда? Рассмотрим такую формулу: В данном случае следует сначала выполнить логическое умножение B и C, затем уже логическое сложение A и . Изменим формулу: Здесь сначала следует выполнить отрицание B, затем логическое умножение и C, и последняя операция – логическое сложение A и . Если же формула будет выглядеть следующим образом: - тогда сначала следует выполнить логическое сложение A и B, затем логическое отрицание (AvB), и потом только логическое умножение (A v B) и C. Дополнительный материал Для каждого составного высказывания можно построить таблицу истинности, которая определяет его истинность (или ложность) при всех возможных комбинациях значений простых высказываний, входящих в его состав. Давайте построим таблицу истинности для нашего последнего выражения - . Сначала следует определить количество строк в таблице истинности. Оно равно количеству возможных комбинаций значений логических переменных, входящих в логическое выражение, плюс одна строка для наименования столбцов. Узнать количество таких вариантов K можно, подставив число переменных в формулу вместо N: K = 2 N В нашем случае N=3, значит K=8. То есть общее число строк равно 9. Затем необходимо определить количество столбцов таблицы. Оно равно сумме логических переменных и логических операций. В нашем случае: 3+3=6 Теперь можно построить таблицу и вписать в неё все возможные комбинации значений логических переменных и, воспользовавшись таблицами истинности для базовых логических операций, определить истинность всего составного высказывания. A B C A v B 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 Обратите внимание на чередование 0 и 1 – в 1-м столбце с переменной, считая справа, (C) они чередуются через 1, во 2-м столбце (B) – через 2, в 3-м (A) – через 4. Все эти числа степени числа 2 (0-я, 1-я, 2-я и т.д.). Логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают, называются равносильными. Для обозначения равносильных логических выражений используется знак «=». Итог урока Что такое высказывание? Чем оно отличается от высказывательной формы? Что такое инверсия? конъюнкция? дизъюнкция?	записать в тетрадь записать в тетрадь записать в тетрадь записать в тетрадь записать в тетрадь записать в тетрадь записать в тетрадь записать в тетрадь записать в тетрадь записать в тетрадь записать в тетрадь записать в тетрадь записать в тетрадь записать в тетрадь

Учитель ___________ /Мулеева А.Ю./

2008-10-16T23:59:41